- Jak nas widzą...

Spróbuję opisać zjawisko w ujęciu tego, nad czym właśnie pracuję. Jeżeli wyobrazimy sobie płetwonurka, który chce sfotografować rybę w wodzie, zostanie on zauważony na odległości, którą podano (1 – 2 m). Nie wnikam w to, czy ryby faktycznie widzą tylko na tę odległość, gdyż się na tym nie znam, przyjmijmy, że tak jest.

Wyobraźmy sobie teraz tzw. płaszczyznę zdarzeń. Dla nas jest ona po prostu taflą wody o dwóch powierzchniach – jedna od strony wody, druga od strony atmosfery. To, co ryba widzi na tak zdefiniowanej płaszczyźnie zdarzeń jest swoistego rodzaju teksturą tej powierzchni. Obiekty znajdujące się nawet kilkanaście metrów od wody są widoczne na tej teksturze. To tłumaczy, dlaczego ryba widzi obiekty znajdujące się w dużo większych odległościach od niej, o ile znajdują się one w innym środowisku gęstościowym.

Dokładnie ten sam efekt uzyskać można w akwarium. Ściana akwarium jest płaszczyzną zdarzeń, której teksturą jest otoczenie na zewnątrz akwarium. Tutaj niestety pojawia się jeszcze jedno środowisko gęstościowe – szyba. Promień światła odbitego od obiektów znajdujących się na zewnątrz akwarium, ulega dużemu załamaniu na szybie (współczynnik załamania szyby jest stosunkowo duży) i odbiciu. Do tego pojawia się jeszcze odbicie od dolnej płaszczyzny szyby, co powoduje interferencję promieni światła i ryba tak naprawdę ma ograniczoną ostrość teksturowania tej płaszczyzny. Powierzchnia wody z kolei jest bardzo cienka (nie nieskończenie, gdyż przeważnie jest tłusta i pojawia się jeszcze zjawisko interferencji na cienkich warstwach).

Ogólnie zatem ryba widzi to, co dzieje się nawet na sporych odległościach od wody dzięki idei narzucenia zdarzeń na płaszczyznę teksturowania. Współczynnik załamania światła dla wody wynosi 1,33. Odpowiada to stosunkowi sinusa kąta promienia padającego na płaszczyznę wody do sinusa kąta załamania promienia, który przeszedł przez tę płaszczyznę. Właściwie ograniczoność tego drugiego kąta sprowadza się do nachylenia dna w danym miejscu. Wyobraźmy sobie, że dno spada z nachyleniem odpowiednim jednego metra wraz ze wzrostem odległości od brzegu o jeden metr. Nachylenie wynosi zatem 45 stopni. Będzie to teoretyczny maksymalny kąt załamania promienia świetlnego. Sinus tego kąta wynosi około 0,71. Dalej będę się posługiwał tym kątem, choć w praktyce jest on nieco większy. Wiemy, że sinus kąta padania do sinusa kąta załamania musi być równy 1,33 stopnia, a zatem sin(kąt padania) = 1,33 x 0,71 = 0,9443. Odpowiada to funkcji cyklometrycznej arcussin kątowi około 71 stopni. Można zatem powiedzieć, że ryba widzi wszystko, co znajduje się w zasięgu stożka o kącie rozwarcia 142 stopnie. W praktyce z uwagi na dużą wartość współczynnika odbicia ostrość widzenia zmniejszyć powinna ten kąt do około 115 stopni.

Co to właściwie oznacza? Wyobraźmy sobie najbardziej korzystny dla wędkarza płaski brzeg oraz taką wodę, żeby jej powierzchnia była na tej samej wysokości co brzeg. Wędkarz stoi tuż przy linii brzegowej. Ryba z kolei zajęła stanowisko 1 m pod powierzchnią wody w pewnej odległości x od brzegu. Wędkarz ma wysokość standardową 1,8 m.

Założyliśmy, że promień światła biegnie w wodzie pod kątem 45 stopni. Oznacza to, że wyjdzie z wody 1 m od ryby w stronę brzegu i tu będzie biegł pod kątem 71 stopni do normalnej do powierzchni wody, jak wynikało to z naszych wcześniejszych obliczeń (dla konsekwencji przyjmujemy kąt wyliczony, a nie domniemane 115 / 2 stopni). Odległość od brzegu, w jakiej musi stać ryba, aby zobaczyć głowę wędkarza wynosi x = wysokość wędkarza / tangens kąta (90 stopni – 71 stopni). Ten kąt w nawiasie jest po prostu kątem między płaszczyzną wody, a promieniem padającym. Po dokonaniu obliczeń otrzymujemy x = 1,8 m / 0,344 = 5,23 m. Do tego dodajemy 1 m jako odległość ryby od punktu wejścia promienia do wody i uzyskujemy wynik 6,23 m. Oznacza to, że ryba stojąc 1 m pod powierzchnią wody zobaczy nas już z odległości nieco ponad 6 m od brzegu.

Rozpatrzmy jeszcze jeden przypadek – wędkarz stojący na niewielkiej skarpie około 0,5 m wysokości. Warunki wcześniejsze są te same tyle tylko, że głowa wędkarza znajduje się teraz nie 1,8 m nad powierzchnią wody lecz 2,3 m.

Dokonujemy ponownie obliczeń według wzoru x = wysokość wędkarza / tangens kąta (90 stopni – 71 stopni) i uzyskujemy x = 2,3 m / 0,344 = 6,69 m, dodajemy 1 m i ostateczny wynik to około 7,7 m. Jak widać stojąc na skarpie zaledwie o pół metra wyższej niż gładki brzeg jesteśmy widoczni przez ryby znajdujące się nawet o półtora metra dalej niż w pierwszym przypadku.

Taki algorytm postępowania ma jeszcze jedną zaletę. Aby określić dokładną odległość widzenia wędkarza przez ryby w zależności od głębokości, na jakiej znajduje się stanowisko ryby, wystarczy tę odległość dodać do wartości wyliczonych, tak jak dodawaliśmy odległość jednego metra. Kto wnikliwie to przeanalizował zauważy, że kąt nachylenia kierunku promienia w wodzie do normalnej do płaszczyzny wody nie ulegał zmianie mimo, że horyzont maksymalnego kąta zależał tutaj nie od spadu dna, lecz stanowiska ryby.

Już wyjaśniam, iż nie miało sensu poprawiać tego kąta z prostej przyczyny. Istnieje bowiem pojęcie kąta granicznego. Można łatwo wyliczyć, iż wynosi on 48,75 stopnia. Okazuje się bowiem, iż przy zbyt dużym kącie padania równym 90 stopni (więcej nie może być, bo słońce musiałoby znajdować się pod wodą) z prawa Snelliusa otrzymujemy, iż sin(90stopni)/sin(kąt graniczny) = 1,33, czyli sinus kąta granicznego wynosi 0,7519, a to odpowiada kątowi 48,75 stopnia. Kąt ten został zaznaczony na pierwszym rysunku. Zatem przyjęcie kąta 45 stopni, tym bardziej, iż faktyczny kąt jest nawet mniejszy, nie wprowadza wielkich błędów.

Zrobiłem jeszcze formalne obliczenia dla kąta rozwarcia stożka 115 stopni i w pierwszej sytuacji wyszła odległość niecałe 4 m, w drugiej 4,6 m.

Gismo